Tính Diện Tích Hình Phẳng Giới Hạn Bởi Các Đường

Bài viết hướng dẫn cách thức áp dụng tích phân nhằm tính diện tích S hình phẳng số lượng giới hạn vì hai tuyến phố cong, đây là dạng tân oán thường xuyên chạm mặt trong lịch trình Giải tích 12 chương thơm 3: Nguyên ổn hàm – Tích phân với Ứng dụng.

Bạn đang xem: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ1. Cho nhị hàm số $y = f(x)$, $y = g(x)$ thường xuyên trên đoạn $.$ Diện tích hình phẳng số lượng giới hạn vì vật thị hai hàm số $y = f(x)$, $y = g(x)$ và hai tuyến phố trực tiếp $x=a$, $x=b$ là: $S = int_a^b | f(x) – g(x)|dx.$2. Xem lại biện pháp khử vệt quý hiếm tuyệt vời trong cách làm tính diện tích hình phẳng.3. Diện tích hình phẳng số lượng giới hạn vày vật thị hai hàm số $y = f(x)$ cùng $y = g(x)$ mang lại vì chưng bí quyết $S = int_altrộn ^eta | f(x) – g(x)|dx$, trong những số đó $altrộn $, $eta $ theo lần lượt là nghiệm nhỏ độc nhất vô nhị với lớn số 1 của pmùi hương trình $f(x) – g(x) = 0.$

II. BÀI TẬP.. TRẮC NGHIỆM MINH HỌAlấy ví dụ như 1: gọi $S$ là diện tích S hình phẳng giới hạn vì đồ gia dụng thị nhì hàm số $y = f(x)$, $y=g(x)$ và hai tuyến đường thẳng $x=a$, $x=b$ (phần gạch ốp chéo cánh trong hình vẽ bên).

*

Khẳng định làm sao sau đây đúng?A. $S = int_b^a | f(x) – g(x)|dx.$B. $S = int_a^b dx .$C. $S = left| int_a^b f (x)dx ight| – left| int_a^b g (x)dx ight|.$D. $S = int_b^a g (x)dx – int_b^a f (x)dx.$

Lời giải:Từ thứ thị ta bao gồm $f(x) – g(x) > 0$, $forall x in .$$ Rightarrow S = int_a^b | f(x) – g(x)|dx$ $ = int_a^b dx .$$ = int_a^b f (x)dx – int_a^b g (x)dx$ $ = int_b^a g (x)dx – int_b^a f (x)dx.$Chọn câu trả lời D.

ví dụ như 2: Gọi $S$ là diện tích S hình phẳng số lượng giới hạn vày đồ vật thị hai hàm số $y = f(x)$, $y = g(x)$ và hai đường trực tiếp $x=a$, $x=b$ (phần gạch chéo trong hình mẫu vẽ bên).

*

Khẳng định làm sao sau đây đúng?A. $S = int_a^b dx. $B. $S = left| int_a^b dx ight|.$C. $S = left| int_a^b f (x)dx ight| – left| int_a^b g (x)dx ight|.$D. $S = int_a^c dx $ $ – int_c^b dx .$

Lời giải:Từ thứ thị ta bao gồm $f(x) – g(x) ge 0$, $forall x in $ với $f(x) – g(x) le 0$, $forall x in .$$ Rightarrow S = int_a^b | f(x) – g(x)|dx$ $ = int_a^c dx $ $ – int_c^b dx .$Chọn lời giải D.

lấy ví dụ 3: Gọi $S_1$ là diện tích hình phẳng số lượng giới hạn vì chưng thiết bị thị những hàm số $y = f(x)$, $y = g(x)$ cùng hai tuyến phố trực tiếp $x = a$, $x = b$ $(a A. $S_1 > S_2.$B. $S_1 C. $S_1 = 2018S_2.$D. $S_2 = 2018S_1.$

Lời giải:Ta có:$S_1 = int_a^b | f(x) – g(x)|dx.$$S_2 = int_a^b | 2018f(x) – 2018g(x)|dx$ $ = 2018int_a^b | f(x) – g(x)|dx$ $ Rightarrow S_2 = 2018S_1.$Chọn lời giải D.

lấy ví dụ như 4: Tính diện tích S $S$ của hình phẳng giới hạn vì đồ vật thị những hàm số $y = x^2 + x$, $y = 3x$ cùng hai đường trực tiếp $x=1$, $x=3.$A. $S = frac23.$B. $S = frac43.$C. $S = 3.$D. $S = 2.$

Lời giải:+ Cách 1:Ta có: $S = int_1^3 x^2 + x – 3x ight $ $ = int_1^3 left .$Bảng xét dấu:

*

$ Rightarrow S = – int_1^2 left( x^2 – 2x ight)dx $ $ + int_2^3 left( x^2 – 2x ight)dx $ $ = – left. left( fracx^33 – x^2 ight) ight|_1^2$ $ + left. left( fracx^33 – x^2 ight) ight|_2^3 = 2.$Chọn đáp án D.+ Cách 2:Xét phương thơm trình $x^2 + x – 3x = 0$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = 0 otin <1;3>\x = 2 in <1;3>endarray ight..$Do đó: $S = int_1^3 left $ $ = left| int_1^2 left( x^2 – 2x ight)dx ight|$ $ + left| int_2^3 left( x^2 – 2x ight)dx ight|.$$ = left| left. left( fracx^33 – x^2 ight) ight ight|$ $ + left| left. left( fracx^33 – x^2 ight) ight ight| = 2.$Chọn đáp án D.

lấy ví dụ 5: Tính diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn do vật thị nhị hàm số $y = x^3 – x$ với $y = 3x.$A. $S=6.$B. $S=7.$C. $S=8.$D. $S=9.$

Lời giải:Xét phương thơm trình $x^3 – 4x = 0$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = 0\x = pm 2endarray ight..$Do đó $S = int_ – 2^2 dx $ $ = left| int_ – 2^0 left( x^3 – 4x ight)dx ight|$ $ + left| int_0^2 left( x^3 – 4x ight)dx ight|.$$ = left| _ – 2^0 ight|$ $ + left| _0^2 ight| = 8.$Chọn câu trả lời C.

ví dụ như 6: Tính diện tích S hình phẳng giới hạn vì đồ thị hàm số $y = x^3 – x$ với vật thị hàm số $y = x – x^2.$A. $frac3712.$B. $frac94.$C. $frac8112.$D. $13.$

Lời giải:Xét phương trình $x^3 – x – x + x^2 = 0$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = 0\x = – 2\x = 1endarray ight..$Do kia $S = int_ – 2^1 dx $ $ = left| int_ – 2^0 left( x^3 + x^2 – 2x ight)dx ight|$ $ + left| int_0^1 left( x^3 + x^2 – 2x ight)dx ight|.$$ = left| left. left( fracx^44 + fracx^33 – x^2 ight) ight ight|$ $ + left| left. left( fracx^44 + fracx^33 – x^2 ight) ight ight| = frac3712.$Chọn giải đáp A.

lấy một ví dụ 7: Tính diện tích $S$ của hình phẳng số lượng giới hạn bởi đồ dùng thị hai hàm số $y = (x – 6)^2$, $y = 6x – x^2.$A. $S=9.$B. $S = frac92.$C. $S=48.$D. $S = frac523.$

Lời giải:Xét phương thơm trình $(x – 6)^2 – 6x + x^2 = 0$ $ Leftrightarrow 2x^2 – 18x + 36$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = 3\x = 6endarray ight..$$ Rightarrow S = int_3^6 2x^2 – 18x + 36 ight $ $ = left| int_3^6 left( 2x^2 – 18x + 36 ight)dx ight|.$$ = left| left. left( frac2x^33 – 9x + 36x ight) ight ight| = 9.$Chọn giải đáp A.

Ví dụ 8: Diện tích hình phẳng số lượng giới hạn vì chưng con đường cong $y = x^2 + 1$, tiếp tuyến đường cùng với mặt đường cong này trên điểm $M(2;5)$ cùng trục $Oy$ bằng:A. $frac512.$B. $frac83.$C. $4.$D. $frac10712.$

Lời giải:Ta có: $y = x^2 + 1$ $ Rightarrow y’ = 2x$ $ Rightarrow y"(2) = 4.$Pmùi hương trình tiếp con đường của đường cong $y = x^2 + 1$ tại điểm $M(2;5)$ là:$y – 5 = 4(x – 2)$ $ Leftrightarrow y = 4x – 3.$Xét phương trình: $x^2 + 1 – 4x + 3 = 0$ $ Leftrightarrow x = 2.$$S = int_0^2 left $ $ = int_0^2 (x – 2)^2 dx$ $ = left. frac(x – 2)^33 ight|_0^2 = frac83.$Chọn lời giải B.

lấy một ví dụ 9: Diện tích hình phẳng số lượng giới hạn vì đường cong $y = x^3 – 3x$ với tiếp con đường cùng với con đường cong này tại điểm $M( – 1;2)$ bằng:A. $frac94.$B. $frac154.$C. $frac274.$D. $frac354.$

Lời giải:Ta có: $y = x^3 – 3x$ $ Rightarrow y’ = 3x^2 – 3$ $ Rightarrow y"( – 1) = 0.$Phương trình tiếp con đường của con đường cong $y = x^3 – 3x$ trên điểm $M( – 1;2)$ là:$y – 2 = 0(x + 1)$ $ Leftrightarrow y = 2.$Xét pmùi hương trình: $x^3 – 3x – 2 = 0$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = 2\x = – 1endarray ight..$$S = int_ – 1^2 left $ $ = left| int_ – 1^2 left( x^3 – 3x – 2 ight)dx ight|$ $ = left. left( fracx^44 – frac3x^22 – 2x ight) ight|_ – 1^2$ $ = frac274.$Chọn đáp án C.

lấy ví dụ như 10: Cho diện tích S hình phẳng số lượng giới hạn vì đồ gia dụng thị nhị hàm số $y = e^2x$, $y = e^ – x$ với con đường trực tiếp $x=1$ bằng $a.e^2 + frac1e + b$ với $a$, $b$ là các số hữu tỉ. Tính $T = 2a + b.$A. $T = frac52.$B. $T = – frac52.$C. $T = – 1.$D. $T = – frac12.$

Lời giải:Xét phương thơm trình $e^2x – e^ – x = 0$ $ Leftrightarrow x = 0.$Do đó $S = int_0^1 left $ $ = left| int_0^1 left( e^2x – e^ – x ight)dx ight|$ $ = left. left( frace^2x2 + e^ – x ight) ight|_0^1$ $ = frace^22 + frac1e – frac32.$$ Rightarrow a = frac12$, $b = – frac32$ $ Rightarrow T = 2a + b = – frac12.$Chọn giải đáp D.

Xem thêm: 10 Bài Văn Phân Tích Nghệ Thuật Trào Phúng Trong Hạnh Phúc Của Một Tang Gia ”

lấy ví dụ 11: Cho diện tích S hình phẳng số lượng giới hạn bởi đồ dùng thị hai hàm số $y = e^2x + e^x$, $y = 4e^x – 2$ bằng $fracab + cln 2$ với $fracab$ là phân số buổi tối giản, $c$ là số ngulặng. Tính $T = a^2 + b – c.$A. $T=9.$B. $T=1.$C. $T =15.$D. $T=13.$

Lời giải:Xét phương trình $e^2x + e^x – 4e^x + 2 = 0$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20le^x = 1\e^x = 2endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = 0\x = ln 2endarray ight..$Do kia $S = int_0^ln 2 dx $ $ = left| int_0^ln 2 left( e^2x – 3e^x + 2 ight)dx ight|.$$ = left. left( frace^2x2 – 3e^x + 2x ight) ight|_0^ln 2$ $ = frac32 – 2ln 2.$$ Rightarrow a = 3$, $b = 2$, $c = – 2$ $ Rightarrow T = a^2 + b – c = 13.$Chọn câu trả lời D.

lấy một ví dụ 12: Tính diện tích S $S$ của hình phẳng số lượng giới hạn vì thứ thị nhị hàm số $y = xe^x$, $y = me^x$ $(m > 1)$ với đường thẳng $x=1.$A. $S = me – e^m.$B. $S = e^m – me.$C. $S = e^m – me – 2e.$D. $S = me – e^m + 2e.$

Lời giải:Xét pmùi hương trình $xe^x – me^x = 0$ $ Leftrightarrow x = m.$Bảng xét dấu:

*

$ Rightarrow S = int_1^m left $ $ = int_1^m (m – x) e^xdx.$

*

$ Rightarrow S = left. (m – x)e^x ight|_1^m$ $ + left. e^x ight|_1^m$ $ = e^m – me.$Chọn giải đáp B.

ví dụ như 13: Cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi vì đồ thị nhị hàm số $y = 2xln x$, $y = 6ln x$ bằng $a + bln 3$ với $a$, $b$ là các số ngulặng. Tính $T = 2a + b.$A. $T = 10.$B. $T=-7.$C. $T=7.$D. $T=-10.$

Lời giải:Xét phương trình $2xln x – 6ln x = 0$ $ Leftrightarrow (2x – 6)ln x = 0$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = 3\x = 1endarray ight..$$ Rightarrow S = int_1^3 | 2xln x – 6ln x|dx$ $ = left| int_1^3 (2x – 6) ln xdx ight|.$Đặt $left{ eginarray*20lu = ln x\dv = (2x – 6)dxendarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarray*20ldu = frac1xdx\dv = x^2 – 6xendarray ight..$lúc kia $S = left| int_1^3 (2x – 6) ln xdx ight|$ $ = left| left. left( x^2 – 6x ight)ln x ight ight|.$$ = left| _1^3 ight|$ $ = – 8 + 9ln 3.$$ Rightarrow a = – 8$, $b = 9$ $ Rightarrow T = 2a + b = – 7.$Chọn lời giải B.

lấy ví dụ như 14: Cho diện tích hình phẳng giới hạn vì vật thị nhị hàm số $y = 2cos x$, $y = 3$ cùng hai tuyến phố thẳng $x = 0$, $x = fracpi 4$ bởi $fracabpi + fracsqrt 2 c$ với $fracab$ là phân số tối giản, $c$ là số nguim. Tính $T = 2a + b + c.$A. $T=-12.$B. $T=-9.$C. $T=9.$D. $T = 12.$

Lời giải:Ta gồm $S = int_0^fracpi 4 | 2cos x – 3|dx$ $ = int_0^fracpi 4 (3 – 2cos x)dx $ (vày $2cos x – 3 $ = left. (3x – 2sin x) ight|_0^fracpi 4$ $ = frac3pi 4 – sqrt 2 $ $ Rightarrow a = 3$, $b = 4$, $c = – 1$ $ Rightarrow T = 2a + b + c = 9.$Chọn đáp án C.

lấy ví dụ như 15: Cho diện tích S hình phẳng giới hạn bởi vì đồ dùng thị nhì hàm số $y = 1 + cos ^2x$, $y = sin ^2x$ với hai đường thẳng $x = 0$, $x = fracpi 4$ bằng $fracabpi + fraccd$ cùng với $fracab$, $fraccd$ là các phân số về tối giản. Tính $T = a + b + c + d.$A. $T=6.$B. $T =7.$C. $T =8.$D. $T=9.$

Lời giải:Ta có $S = int_0^fracpi 4 dx $ $ = int_0^fracpi 4 | 1 + cos 2x|dx.$$ = int_0^fracpi 4 (1 + cos 2x)dx $ (do $1 + cos 2x ge 0$, $forall x in left< 0;fracpi 2 ight>$).$ = left. left( x + frac12sin 2x ight) ight|_0^fracpi 4$ $ = fracpi 4 + frac12$ $ Rightarrow a = 1$, $b = 4$, $c = 1$, $d = 2.$$ Rightarrow T = a + b + c + d = 8.$Chọn lời giải C.

lấy ví dụ 16: Cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong $y = x^2$, $x = y^2$ bằng $fracab$ cùng với $fracab$ là các phân số tối giản. khi kia khoảng cách trường đoản cú điểm $M(a;b)$ tới điểm $A(2;1)$ bằng:A. $1.$B. $sqrt 5 .$C. $5.$D. $sqrt 29 .$

Lời giải:Ta tất cả $y = x^2$ cùng $x = y^2$ $ Rightarrow x,y ge 0.$Lúc kia $x = y^2$ $ Leftrightarrow y = sqrt x .$Xét phương thơm trình $x^2 – sqrt x = 0$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = 0\x = 1endarray ight..$Do kia $S = int_0^1 x^2 – sqrt x ight $ $ = left| int_0^1 left( x^2 – sqrt x ight)dx ight|$ $ = left| _0^1 ight| = frac13.$$ Rightarrow a = 1$, $b = 3$ $ Rightarrow M(1;3)$ $ Rightarrow MA = sqrt (2 – 1)^2 + (1 – 3)^2 = sqrt 5 .$Chọn giải đáp B.

Ví dụ 17: Diện tích hình phẳng số lượng giới hạn vì chưng những con đường $y = left| x^2 – 3x + 2 ight|$, $y = x + 2$ bởi $fracab$ với $fracab$ là phân số buổi tối giản. Khẳng định như thế nào sau đây là đúng?A. $a^2 – 4b + 2 = 0.$B. $a^2 + b – 58 = 0.$C. $a + b^2 – 40 = 0.$D. $a + 2b = 0.$

Lời giải:Xét phương thơm trình: $left| x^2 – 3x + 2 ight| = x + 2$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20lx + 2 ge 0\left< eginarray*20lx^2 – 3x + 2 = x + 2\x^2 – 3x + 2 = – x – 2endarray ight.endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = 0\x = 4endarray ight..$Do đó $S = int_0^4 left ight = frac313$ $ Rightarrow a = 31$, $b = 3$ $ Rightarrow a + b^2 – 40 = 0.$Chọn câu trả lời C.

lấy ví dụ 18: Cho diện tích S hình phẳng giới hạn do thứ thị nhì hàm số $y = x^2 + 4x$, $y = 2x – m$ $(m > 1)$ với hai đường trực tiếp $x=0$, $x=2$ bởi $4.$ Khẳng định nào tiếp sau đây đúng?A. $m>5.$B. $mC. $2 D. $m le 2.$

Lời giải:Với $m>1$, ta bao gồm $x^2 + 2x + m$ $ = (x + 1)^2 + m – 1 ge 0$, $forall x in R.$khi đó: $S = int_0^1 left $ $ = int_0^1 left( x^2 + 2x + m ight)dx .$$ = left. left( fracx^33 + x^2 + mx ight) ight|_0^1$ $ = m + frac43.$$S = 4$ $ Rightarrow frac43 + m = 4$ $ Leftrightarrow m = frac83$ $ Rightarrow 2 Chọn câu trả lời C.

ví dụ như 19: Cho diện tích hình phẳng giới hạn vày đồ dùng thị nhì hàm số $y = x^2 – x$, $y = x + 3$ với hai tuyến đường trực tiếp $x = 0$, $x = m$ $(m > 3)$ bởi $fracm^33 – m^2.$ Khẳng định làm sao dưới đây đúng?A. $m > 5.$B. $m ge 8.$C. $m le 5.$D. $7 Lời giải:Xét phương thơm trình: $x^2 – x – x – 3 = 0$ $ Leftrightarrow x^2 – 2x – 3 = 0$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = – 1\x = 3endarray ight..$Bảng xét dấu:

*

Ta có: $S = int_0^m left $ $ = – int_0^3 left( x^2 – 2x – 3 ight)dx $ $ + int_3^m left( x^2 – 2x – 3 ight)dx .$$ = – left. left( fracx^33 – x^2 – 3x ight) ight|_0^3$ $ + left. left( fracx^33 – x^2 – 3x ight) ight|_3^m$ $ = fracm^33 – m^2 – 3m + 18.$$S = fracm^33 – m^2$ $ Rightarrow – 3m + 18 = 0$ $ Leftrightarrow m = 6$ $ Rightarrow m > 5.$Chọn giải đáp A.

lấy ví dụ 20: Diện tích hình elip $(E):x^2 + 16y^2 = 16$ bằng:A. $pi .$B. $2pi .$C. $3pi .$D. $4pi .$

Lời giải:Vẽ $(E):x^2 + 16y^2 = 16$ nhỏng hình mặt, ta suy ra:$S = 4int_0^4 fracsqrt 16 – x^2 dx4 $ $ = int_0^4 sqrt 16 – x^2 dx.$

*

Đặt $x = 4sin t$, $t in left< – fracpi 2;fracpi 2 ight>$ $ Rightarrow dx = 4cos tdt.$Đổi cận: $x = 0$ $ Rightarrow t = 0$, $x = 4$ $ Rightarrow t = fracpi 2.$$S = int_0^fracpi 2 sqrt 16 – 16sin ^2t .4cos tdt$ $ = – 16int_0^fracpi 2 cos ^2 tdt$ $ = 8int_0^fracpi 2 (1 + cos 2t)dt .$$ = left. (8t + 4sin 2t) ight|_0^fracpi 2 = 4pi .$Chọn câu trả lời D.

lấy ví dụ 21: Trong khía cạnh phẳng tọa độ $Oxy$ mang đến $(E)$ bao gồm pmùi hương trình $fracx^2a^2 + fracy^2b^2 = 1$ $(0 A. $ab=7.$B. $ab = 7sqrt 7 .$C. $ab = sqrt 7 .$D. $ab = 49.$

Lời giải:Diện tích hình tròn $(C)$ là: $S_1 = pi R^2 = 7pi .$Diện tích hình elip $(E)$ là: $S_2 = 4int_0^a fracbsqrt a^2 – x^2 dxa $ $ = 4fracbaint_0^a sqrt a^2 – x^2 dx.$

*

Đặt $x = asin t$, $t in left< – fracpi 2;fracpi 2 ight>$ $ Rightarrow dx = acos tdt.$Đổi cận: $x = 0$ $ Rightarrow t = 0$, $x = a$ $ Rightarrow t = fracpi 2.$$S_2 = 4fracbaint_0^fracpi 2 a^2 cos ^2tdt$ $ = 2abint_0^fracpi 2 (1 + cos 2t)dt $ $ = left. 2ableft( t + frac12sin 2t ight) ight|_0^fracpi 2$ $ = pi ab.$Theo giả thiết ta tất cả $S_2 = 7S_1$ $ Leftrightarrow pi ab = 49pi $ $ Leftrightarrow ab = 49.$Chọn câu trả lời D.Ghi chú: Sau này ta dùng công dụng này cho nkhô nóng những em nhé: “Elip gồm độ lâu năm trục to với trục nhỏ lần lượt là $2a$, $2b$ thì bao gồm diện tích S $S = pi ab$”.

ví dụ như 22: Parabol $y = x^2$ phân tách mặt đường tròn trung tâm là cội tọa độ, bán kính bởi $sqrt 2 $ thành hai phần. Điện thoại tư vấn $S_1$ là diện tích S phần nằm hoàn toàn bên trên trục hoành cùng $S_2$ là diện tích phần sót lại. Giá trị $S_2 – 3S_1$ bằng?A. $fracpi 2 – 1.$B. $1 – fracpi 2.$C. $frac43.$D. $ – frac43.$

Lời giải:Đường tròn trọng điểm $O$, bán kính bằng $2$ gồm phương trình:$x^2 + y^2 = 2.$

*

Tìm những hoành độ giao điểm:$x^2 + x^2 = 2$ $ Leftrightarrow x = pm 1.$Tính những diện tích:Diện tích hình tròn trụ $S = pi (sqrt 2 )^2 = 2pi .$$S_1 = 2int_0^1 left( sqrt 2 – x^2 – x^2 ight)dx $ $ = 2int_0^1 sqrt 2 – x^2 dx – left. frac2x^33 ight|_0^1.$Đặt $x = sqrt 2 sin t$, $t in left< – fracpi 2;fracpi 2 ight>$ $ Rightarrow dx = sqrt 2 cos tdt.$Đổi cận: $x = 0$ $ Rightarrow t = 0$, $x = 1$ $ Rightarrow t = fracpi 4.$$int_0^1 sqrt 2 – x^2 dx$ $ = int_0^fracpi 4 sqrt 2 – 2sin ^2t .sqrt 2 cos tdt.$$ = int_0^fracpi 4 (1 + cos 2t)dt $ $ = left. left( t + fracsin 2t2 ight) ight|_0^fracpi 4$ $ = fracpi 4 + frac12.$$ Rightarrow S_1 = fracpi 2 + frac13$ $ Rightarrow S_2 = S – S_1$ $ = frac3pi 2 – frac13$ $ Rightarrow S_2 – 3S_1 = – frac43.$Chọn câu trả lời D.

III. LUYỆN TẬP1. ĐỀ BÀICâu 1: Viết phương pháp tính diện tích $S$ của hình phẳng số lượng giới hạn vì chưng đồ thị hai hàm số $y = f_1(x)$, $y = f_2(x)$ tiếp tục trên đoạn $$ với những con đường trực tiếp $x = a$, $x=b.$A. $S = int_a^b dx .$B. $S = int_a^b dx .$C. $S = left| int_a^b left( f_1(x) – f_2(x) ight)dx ight|.$D. $S = int_a^b left< f_2(x) – f_1(x) ight>dx .$

Câu 2: Cho diện tích S hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = x^3$, $y = x^5$ bằng $fracab$ với $a$, $b$ là các số nguyên ổn dương cùng $fracab$ là phân số về tối giản. Tính $T = a + b.$A. $T = 5.$B. $T = 6.$C. $T = 7.$D. $T = 8.$

Câu 3: Cho diện tích hình phẳng giới hạn do các con đường $y = x^2 + 5$, $y = 6x$, $x = 0$, $x = 1$ bởi $fracab$ cùng với $a$, $b$ là các số nguyên ổn dương cùng $fracab$ là phân số về tối giản. Tính $T = log _2(a + b – 2).$A. $T = 2.$B. $T=3.$C. $T=4.$D. $T=8.$

Câu 4: hotline $S_1$ là diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi elip $fracx^225 + fracy^29 = 1$ và $S_2$ là diện tích S của hình thoi có các đỉnh là các đỉnh của elip kia. Tính tỉ số giữa $S_1$ và $S_2.$A. $fracS_1S_2 = frac2pi .$B. $fracS_1S_2 = frac3pi .$C. $fracS_1S_2 = fracpi 3.$D. $fracS_1S_2 = fracpi 2.$

Câu 5: Cho diện tích hình phẳng được giới hạn vày những mặt đường $y = x^3$, $y = 2 – x^2$, $x = 0$ bởi $fracab$ với $a$, $b$ là những số nguim dương cùng $fracab$ là phân số về tối giản. Khẳng định làm sao sau đây là đúng?A. $a > 2b.$B. $a > b.$C. $a = b + 2.$D. $b = a + 2.$

Câu 6: Cho diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi vì những mặt đường $y = fracln x2sqrt x $, $y = 0$, $x = 1$, $x = e$ bởi $a + bsqrt e $ cùng với $a$, $b$ là các số nguyên. Giá trị $a+b$ nằm trong khoảng chừng nào sau đây?A. $(0;2).$B. $(2;4).$C. $(4;6).$D. $(6;8).$

Câu 7: Cho diện tích hình phẳng giới hạn vày những con đường thẳng $y = 2 – x$, $y = 0$, $x = m$, $x = 3$ $(m A. $(-4;-2).$B. $(-2;0).$C. $(0;2).$D. $(-6;-4).$

Câu 8: Cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi vì những mặt đường $y = (e + 1)x$ cùng $y = left( e^x + 1 ight)x$ bởi $fracea + b$ với $a$, $b$ là những số nguim. Tính $T = a + 2b.$A. $3.$B. $2.$C. $1.$D. $0.$

Câu 9: Diện tích hình phẳng giới hạn do các đường parabol: $(P):y = x^2 – 2x + 2$, tiếp con đường của $(P)$ trên $M(3;5)$ với trục $Oy$ có giá trị nằm trong khoảng tầm như thế nào sau đây?A. $(2;4).$B. $(4;6).$C. $(6;8).$D. $(8;10).$

Câu 10: Parabol $y = fracx^22$ phân tách hình trụ tất cả trung tâm tại nơi bắt đầu tọa độ, nửa đường kính $2sqrt 2 $ thành $2$ phần. Gọi $S_1$, $S_2$ theo thứ tự là diện tích phần gạch men chéo cánh và phần không gạch men chéo nhỏng hình vẽ.

*

Tính tỉ số $fracS_1S_2$ đem giá trị sấp xỉ sản phẩm xác suất.A. $0,43.$B. $0,53.$C. $0,63.$D. $0,73.$